TPA dan Bilangan di dalamnya

Beberapa hari yang lalu, aku berkesempatan mengikuti Test Potensi Akademik atau yang lebih biasa dikenal dengan sebutan TPA. Pelaksanaan TPA diadakan beberapa bulan sekali dengan biaya test yang cukup mahal untuk kantungku. Karena aku belum pernah mengikuti TPA sebelumnya, akhirnya kuputuskan untuk mencari program TPA yang menyediakan pelatihan sebelum pelaksanaan test. Beberapa hari sebelum test dilaksanakan, aku mendapatkan semacam modul yang berisi beberapa contoh soal yang akan dibahas pada saat pelatihan. Pelatihan TPA sendiri dilaksanakan satu hari sebelum testnya.

TPA terdiri atas tiga bagian soal yang harus dikerjakan dalam waktu tiga jam. Bagian pertama adalah mengenai penguasaan bahasa. Bagian kedua dari TPA adalah mengenai perhitungan yang melibatkan angka. Bagian inilah yang menjadi fokus utama dalam pelatihan. Bagian terakhir berisikan pertanyaan mengenai logika dan permainan dadu seperti test IQ.

Pembahasan pertana adalah mengenai soal perkalian. Soal perkalian dalam test melibatkan bilangan dua digit atau bilangan puluhan. Sang instruktur, seorang wanita yang menarik, mengajak semua peserta untuk memperhatikan bagian unik dalam bilangan tersebut. Ternyata dua bilangan yang dikalikan berselisih satu pada digit puluhan dan berjumlah sepuluh pada digit satuan. Contoh bilangan tersebut adalah sebagai berikut:

  • 65×75 + 75×85 – 85×95 = ?
  • 87×73 + 76×64 – 65×55 = ?

Soal tersebut bisa kita bagi menjadi tiga buah operasi perkalian, satu buah operasi penjumlahan, dan satu buah operasi pengurangan. Pada operasi perkalian yang pertama, akan dihitung 65×75. Dua bilangan yang dikalikan memiliki ciri yang unik. Digit puluhan bilangan pertama (yaitu 6 pada 65) berselisih satu dengan digit puluhan pada bilangan kedua (yaitu 7 pada 75). Kemudian, digit satuan kedua bilangan tersebut berjumlah 10 (yaitu 5 pada 65 dijumlahkan dengan 5 pada 75).

Ciri yang unik ini  ternyata memiliki rumus cepat yang bisa digunakan untuk menyelesaikan perkalian tersebut. Hasil perkalian tersebut adalah kuadrat dari digit puluhan dikurangi dengan kuadrat dari digit satuan bilangan yang terbesar di antara kedua operan. Jadi untuk kasus 65×75, dengan menggunakan rumus cepat, hasilnya akan sama dengan 70² – 5² = 4900 – 25 = 4875. Dengan cara yang sama, dapat ditentukan pula hasil perkalian yang memiliki ciri yang sama. Misal, untuk 87×73 akan sama dengan 80² – 7² = 6400-49 = 6351.

Pertanyaan yang muncul di benakku adalah bagaimana rumus cepat ini dapat muncul?

Rasa penasaran membawaku untuk mengutak-atik angka tersebut. Aku mencoba melakukan reverse engineering dari rumus cepat untuk mendapatkan soal perkalian awal. Ternyata aku mendapatkan pembuktian sebagai berikut:

70² – 5²
= (70 + 5) (70 – 5)  …. ingat a² – b² = (a+b) (a-b)
= 75 x 65

Ternyata rumus cepat ini juga diturunkan dari rumus matematika lainnya.

Bilangan triple Pythagoras

Aku tidak mengetahui siapa dan bagaimana rumus cepat tersebut diciptakan. Namun, aku pernah mengalami saat di mana aku menyadari ada sesuatu yang unik pada bilangan tertentu. Salah satu bilangan di mana kutemukan keunikan adalah bilangan triple Pythagoras. Aku menyadari ini dulu ketika sering menghadapi soal mengenai segitiga siku-siku. Aku tidak tahu apakah para pembaca juga menemukan keunikan ini seperti aku. Lagi pula setiap orang memiliki pemikirannya sendiri saat menghadapi permasalahan yang serupa.


Aku baru menyadari kembali akan keunikan bilangan Pythagoras ketika adik sepupuku mengeluh kepadaku mengenai bilangan ini. Ia berkata bahwa bilangan tripel Pythagoras itu banyak sekali dan sulit untuk dihapalkan. Aku sedikit terkejut menanggapi keluhan sepupuku ini. Aku mengatakan kepadanya bahwa aku hanya perlu menghapal dua buah bilangan triple Pythagoras yang umum muncul di soal. Bilangan-bilangan lain yang lebih besar dapat ditentukan menggunakan dua buah bilangan triple Pythagoras tersebut.

Bilangan triple Pythagoras adalah tiga buah bilangan yang menjadi panjang sisi pada sebuah segitiga siku. Pada sebuah segitiga siku-siku dengan dengan sisi-sisi yang memiliki panjang a dan b mengapit sudut siku-sikunya, maka panjang sisi c atau sisi miringnya dapat ditentukan dengan menggunakan aturan Pythagoras a² + b² = c² (lihat gambar). Bilangan triple Pythagoras adalah <a,b,c> tersebut.

Bilangan triple Pythagoras yang sering muncul dalam soal (dan oleh karena itu kuhapal) adalah <3,4,5> dan <5,12,13>. Ternyata bilangan triple Pythagoras yang lain adalah kelipatan dari dua bilangan tersebut. Jadi dari dua buah baris bilangan tersebut, aku bisa mendapatkan banyak sekali bilangan triple Pythagoras, misalkan <6,8,10> (kelipatan dua dari <3,4,5>), <10,24,26> (kelipatan dua dari <5,12,13>), <9,12,15> (kelipatan tiga dari <3,4,5>), dan seterusnya.

Baru setelah aku menemui soal mengenai Pythagoras di TPA, aku menjadi tertarik untuk mencari darimana keunikan yang kutemukan itu berasal. Sekali lagi, dengan menggunakan reverse engineering, aku menemukan pembuktian dari keunikan tersebut.

Misalkan untuk bilangan <6,8,10>. Dengan aturan Pythagoras didapatkan:

6² + 8² = 10²
(2×3)² + (2×4)² = (2×5)²
2² x 3² + 2² x 4² = 2² x 5² ………… kedua sisi dibagi dengan 2²
3² + 4² = 5²

Apakah pembuktian tersebut benar? Aku tak tahu. Paling tidak aku berhasil menemukan penawar rasa penasaranku. Apakah anda juga pernah menyadari keunikan bilangan tertentu?

Ditulis pada saat berharap-harap cemas akan hasil TPA. Semoga lulus.. Amien..

Credits:

Pos Sebelumnya
Pos Berikutnya
Tinggalkan komentar

17 Komentar

  1. pertamax…

    woow..i think u’re a good analyst :p
    keren rip, i like it..

    slalu ada cerita (baca: pemikiran) dibalik smua kegiatanmu..lanjuuut!!

    Balas
  2. woow, aku yang ga kepikiran yang perkalian di atas, agak mengernyitkan dahi dulu, maklum loading lama..
    utk yg pitagoras iyah dengan pendapat yg sama..nice post..kapan aku bisa begini T_T..
    dan semoga berhasil ya..sukses selalu..

    Balas
  3. @wheew:
    he3.. terima kasih..
    lanjut…

    @dian:
    eh, dirimu nyadar yang Pythagoras juga ya??
    he3.. berarti bukan aku saja.. syukurlah..
    sukses juga untukmu.. ^^

    Balas
  4. wew… baru kali ini sy baca postingan dengan durasi lebih dari lima menit. mikir booo! wkwkwk….
    heran juga, kenapa juga bisa begini. tanya kenapa?? sebenarnya mtk itu asik yah, bisa ngutak-ati ini itu. sy pun suka pada dasarnya.. namun hanya saja, sy sejak kecil punya memori buruk dgn mtk, jadinya sampe sekarang mudah sekali melupakan mtk. aduh, harusnya orang kayak saya engga masuk IPA di kelas 2 dan 3 SMA dulu yaaa (tapi kok sy bisa masuk? heran..) … pake sok-sokan lagi belajar bareng dgn teman2 yg jago eksak… *wew, jadi curhat.. wkwkwk*

    Balas
  5. oh klo pembuktiannya kayak gitu,, berarti kelipatan 3, 4 5, 6, 7 dan bilangan bulat lainnya dari angka triple pythagoras juga mrp triple pythagoras.
    baru tau,, hehehe

    Balas
    • sepertinya sih begitu..
      mungkin ada bilangan “basis” lain selain dua triple yang saya sebutkan..

      Balas
  6. Sip sip sip, penjelasan yang simpel dan mudah dipahami trims…lanjut

    Balas
  7. jadi malu nih baca tulisannya arif,,selama ini ga pernah terlalu penasaran ama dari mana rumus cepet bisa ada,,sibuk nyelesaiin pertanyaannya aja,,,

    keren rif,,

    Balas
    • well, rumus cepatnya bukan saya yg nemuin kok..
      saya hanya menyelidiki ulang.. ^^

      Balas
  8. dhay

     /  Maret 10, 2010

    wah keren …. baca ini sambil mikir, dulu pernah diajari rumus Phytagoras cara cepat sama Bapak tapi ga tau asal usulnya …. Kamsahamnida Songsengnim ^^

    Balas
  9. belum merasakan tes TPA, pastinya ini bakal sangat seru sepertinya🙂

    semoga lulus ya mas arif🙂

    Balas
  10. buset… testnya ngeri amat…
    semoga lulus mas bro😀

    Balas

Ada apa di pikiranmu?

Isikan data di bawah atau klik salah satu ikon untuk log in:

Logo WordPress.com

You are commenting using your WordPress.com account. Logout / Ubah )

Gambar Twitter

You are commenting using your Twitter account. Logout / Ubah )

Foto Facebook

You are commenting using your Facebook account. Logout / Ubah )

Foto Google+

You are commenting using your Google+ account. Logout / Ubah )

Connecting to %s

%d blogger menyukai ini: